Varför en bana är ett fall

Varje astronaut du någonsin sett sväva i rymdstationen är fallande. Så är stationen, och så är månen. Ingen av dem är “över gravitationen”. De faller runt jorden, om och om igen, och träffar den aldrig.

En bana är helt enkelt ett fall som aldrig tar slut.

Titta.

Kasta en boll i sidled och den böjer sig ner mot marken. Kasta den hårdare och det landar längre bort. Tänk dig nu att du kastar den så hårt att marken under den också har böjt bort en meter när den fallit en meter. Den faller fortfarande. Det kommer bara aldrig närmare.

På jorden sker detta vid ungefär 7.8 km/s nära ytan (28,000 km/h). Ingenting på marken kan röra sig så fort eftersom luften skulle stoppa det, så vi går ovanför luften först. Det är allt en raket gör: den lyfter en rymdfarkost ovanför atmosfären och sedan trycker den i sidled, mycket hårt.

• Långsammare än omloppshastighet: banan svänger in i marken.
• Exakt omloppshastighet: en cirkel.
• Snabbare: en ellips, svängande ut och tillbaka.
• Snabbare än flykthastighet (ca 11 km/s från låg omloppsbana): banan öppnas och återvänder aldrig.

Gissa först: hur stark är gravitationen på höjden av den Internationella rymdstationen, jämfört med marken?

Cirka 90% lika stark. Astronauter svävar inte för att gravitationen saknas, utan för att de och deras station faller ihop.

Inuti en fallande rymdfarkost faller allt ihop i samma takt, så ingenting trycker på något annat. Det är därför astronauter svävar. Rymdorganisationer kallar det för mikrogravitation.

Förstå

Nära jorden drar gravitationen med en acceleration av g = GM/r². Att röra sig i en cirkel med radie r och hastighet v kräver dragkraft mot mitten av v²/r. En bana är där gravitationen ger exakt det draget:

v²/r = GM/r²  →  v = √(GM / r)

Med GM av jorden = 398,600 km³/s² och r = 6,371 + 200 = 6,571 km, v ≈ 7.79 km/s. På höjden av Newtons imaginära 600 km höga berg i filmen är r = 6978 km och v = 7,56 km/s.

Tiden för ett varv följer: T = 2πr/v, ca 88 minuter på 200 km. Högre banor är långsammare och längre: månen, 384.400 km bort, tar 27,3 dagar.

Master

Starta horisontellt med radie r₀ och hastighet v och banan är ett konisk sektion med jordens centrum i en fokus. Energin per kilogram,

ε = v²/2 − μ/r₀,

bestämmer formen: ε < 0 is an ellipse (including the circle and the paths that hit the ground, which are ellipses interrupted by the surface), ε = 0 a parabola, ε > 0 en hyperbel. Om man sätter ε = 0 får man flykthastigheten v_esc = √(2μ/r₀), exakt √2 gånger cirkulärhastigheten på samma höjd.

En horisontell lansering sätter alltid startpunkten på en apsis: den högsta punkten i omloppsbanan om v är under cirkelhastigheten, den lägsta om ovanför. Det är därför de långsammare bollarna i filmen faller bort från berget, och de snabbare kommer tillbaka till det nerifrån.