Hvorfor en bane er et fald

Hver astronaut, du nogensinde har set svævende i rumstationen er faldende. Det er stationen også, og det er månen også. Ingen af dem er “over tyngdekraften”. De falder rundt om Jorden, igen og igen, og rammer den aldrig.

En bane er simpelthen et fald, der aldrig slutter.

Se.

Kast en bold sidelæns, og den buer ned mod jorden. Kast den hårdere, og den lander længere væk. Forestil dig nu at kaste den så hårdt, at når den er faldet en meter, har jorden under den også bøjet sig væk med en meter. Det falder stadig. Det kommer bare aldrig tættere på.

På Jorden sker det ved omkring 7,8 km/t tæt på overfladen (28.000 km/t). Intet på jorden kan bevæge sig så hurtigt, fordi luften ville stoppe det, så vi går over luften først. Det er alt en raket gør: den løfter et rumfartøj over atmosfæren og skubber det derefter sidelæns, meget hårdt.

• Langsommere end kredsløbshastigheden: banen svinger ind i jorden.
• Præcis kredsløbshastighed: en cirkel.
• Hurtigere: en ellipse, der svinger ud og tilbage.
• Hurtigere end flugthastighed (ca. 11 km/s fra lavt kredsløb): banen åbner sig og vender aldrig tilbage.

Gæt først: hvor stærk er tyngdekraften i højden af den Internationale Rumstation, sammenlignet med jorden?

Omkring 90% så stærk. Astronauter svæver ikke fordi tyngdekraften mangler, men fordi de og deres station falder sammen.

Inde i et faldende rumfartøj falder alt sammen med samme hastighed, så intet presser på noget andet. Det er derfor, astronauter svæver. Rumfartsorganisationer kalder det mikrotyngdekraft.

Forstået.

Nær Jorden trækker tyngdekraften med en acceleration på g = GM/r². Bevægelse i en cirkel med radius r ved hastighed v kræver et træk mod centrum af v²/r. En bane er hvor tyngdekraften giver præcis det træk:

v²/r = GM/r²  →  v = √(GM / r)

Med GM af Jorden = 398.600 km³/s² og r = 6.371 + 200 = 6.571 km, v ≈ 7,79 km/s. I højden af Newtons imaginære 600 km bjerg i filmen er r = 6.978 km og v = 7,56 km/s.

Tiden for en omgang følger: T = 2πr / v, ca. 88 minutter ved 200 km. Højere kredsløb er langsommere og længere: Månen, 384.400 km væk, tager 27,3 dage.

Master

Launch horizontally at radius r₀ with speed v and the path is a conic section with Earth’s centre at one focus. Energi pr. kg,

ε = v²/2 − μ/r₀

bestemmer formen: ε < 0 is an ellipse (including the circle and the paths that hit the ground, which are ellipses interrupted by the surface), ε = 0 a parabola, ε > 0 en hyperbel. Hvis man sætter ε = 0, får man flugthastigheden v_esc = √(2μ/r₀), præcis √2 gange den cirkulære hastighed i samme højde.

En vandret lancering sætter altid startpunktet på en apsis: det højeste punkt i kredsløbet, hvis v er under cirkelhastigheden, det laveste, hvis over. Det er derfor, de langsommere bolde i filmen falder væk fra bjerget, og de hurtigere kommer tilbage til det nedenfra.